segunda-feira, 23 de setembro de 2013

Como Construir com canudos os Sólidos de Platão

Nas figuras que seguem, indicaremos por → o sentido em que a linha deve ser inserida num canudo vazio e indicaremos por ⇒ o sentido em que ela dever ser inserida num canudo já ocupado por algum pedaço de linha. O passo a passo da atividade baseia-se no trabalho de Kallef (1995).
Atividade 1 - Construção de um tetraedro regular: O material utilizado na construção é um metro de barbante e seis pedaços de canudo de refrigerante de mesmo comprimento. As etapas de sua construção estão representadas na Figura 1.

Atividade 2 - Construção de um octaedro regular: Para essa atividade, são necessários dois metros de barbante e doze pedaços de canudo de mesmo comprimento.  Com os pedaços de canudos e o fio de barbante, construa quatro triângulos e os una, dois a dois, conforme apresentado na Figura 2.

 

Atividade 3 - Construção de um icosaedro regular: Para essa construção, utilizamos três metros de barbante e trinta pedaços de canudo de mesmo comprimento. Devem-se  construir quatro triângulos, seguindo o esquema da figura 3 e os unir obtendo uma pirâmide regular de base pentagonal, como a desenhada na figura. Repetindo essa construção, obtemos mais uma pirâmide. Unimos cada uma das pirâmides através dos vértices das bases, por meio de pedaços de canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos.

Atividade 4 - Construção de um cubo e de suas diagonais: Utilizamos nesta atividade doze pedaços de canudo da mesma cor e medindo 8 cm, seis canudos de outra cor ou de diâmetro menor do que o anterior, e mais um canudo de cor diferente das demais. Com pedaços de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de aresta. Observe a Figura 4.

Atividade 5 - Construção de um dodecaedro regular com canudos e barbante30 Na construção do dodecaedro regular, a maior dificuldade encontrada é dar estabilidade à estrutura. Por esse motivo, uniremos todos os vértices do dodecaedro ao centro do poliedro. Cada aresta da estrutura tem como medida um canudo de lado l.
Precisaremos de 30 canudos de lado l. A construção começa pela base, e depois levantamos uma pirâmide conforme a figura seguinte.

Mas não é uma pirâmide qualquer, pois o dodecaedro deverá ter no fim do processo 12 pentágonos iguais, e para que isso ocorra esta pirâmide deverá ter uma altura específica. Através das características do pentágono podemos encontrar o apótema a e a distância b do centro ao vértice do pentágono.
É possível concluir que h, altura da pirâmide, é dada por . Lembre-se que l é o lado do pentágono, e também o comprimento dos canudos que formam as arestas. Utilizando o teorema de Pitágoras, encontramos o comprimento dos canudos que ligarão os vértices como sendo de 1,4·l.

Assim, precisaremos de mais 20 canudos de comprimento 1,4l para fazer a estrutura interna. Logo teremos um dodecaedro regular construído com canudos semelhante ao da figura abaixo.

quinta-feira, 5 de setembro de 2013

ATIVIDADES COM MONÔMIOS E POLINÔMIOS - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

1) Efetue as operações com monômios:

a) –17x3y  - 6x3y  .................................                             b) ( - 35x6) : ( 7x3) ………………

c)  ( -5a3b4 ) . ( 3 a2) .......................

e) 6xy2  - 5 x2y   ...........................                                  

2)  Elimine os parênteses destes polinômios e  reduza os termos  semelhantes:

a) ( 2y2 – 7y + 9) – ( 8y2 - 10y + 7) – ( y2 + 4)                     b) (9x3 – 13x2 – 2x + 3) – ( 5x3 - 3x2 + 7x)


3)Dados A= 2x² - 8x + 7, B= x² - 5x + 7  e C = 2x – 9, calcule as expressões a seguir:

·         A + B + C

·         A – B – C

·         -5 B 
4)     Efetue as operações indicadas:
a)     (2x3 – 3x2 + x – 1) + (5x3 + 6x2 – 7x + 3)
b)    (– 8y2 – 12y + 5) + (7y2 – 8)
c)     (2ax3 – 5a2x – 4by) + (5ax3 + 7a2x + 6by)
d)    (a2 – b2) + (a2 – 3b2 – c) + (5c – 2b2 – a2)
e)     (3y2 – 2y – 6) – (7y2 + 8y + 5)
f)     (8x3 – 4x2 + 3x – 5) – (6x3 – 7x2 + 5x – 9)
g)    (2x3 – 3x + 1) – (– 4x2 + 3)
h)     (2x3 – 5x2 + 8x – 1) – (– 3x3 + 5x2 – 5x + 6)
i)      (x2 – 5xy + y2) + (3x2 – 7xy + 3y2) – (4y2 – x2)

5)     Efetue as multiplicações:
a)     3y(4x2 – 2x3 – 7)
b)    (x4 – 3x2 – 5x + 1)(– 4x)
c)     2x(y2 + xy + 1)
d)    4ab(a2 + b2 – ab)
e)     4xy2(4x + y + 1)
f)     (2x + 3)(5x – 1)
i)      (4x3 + 2x – 3)(5x2 + x – 1)
j)      (x2 – 2x + 5)(x3 – 3x2 + 6)

6)     Dados os polinômios A = 3x2 + 2x – 4,  B = 5x – 3  e C = 2x + 5, calcule:
 a)     A + B + C
b)    AB – BC
c)     A2 – 2B


DIVIRTA-SE !!!!!!

ATIVIDADES COM NÚMEROS NATURAIS - REVISÃO

1. Escrevendo seis números diferentes, sem repetir, com os algarismos 3, 2 e 5, qual vai ser a soma desses números?


2. Allana está juntando dinheiro para sua viagem de formatura. Ela já tem guardados R$ 105,00. No seu aniversário, seu pai lhe deu uma nota de
R$ 50,00, além disso, seus tios lhe deram mais R$ 155,00. Quantos reais ela já tem para a sua viagem?


3. Hoje, Lili, ao sair de casa, abasteceu seu carro com R$ 42,00. Chegando ao banco ela pagou R$ 132,00 de conta de energia, R$ 80,00 de água e R$ 320,00 do seu cartão de crédito. Quantos reais Lili gastou neste dia?


4. Sara e Estela trabalham juntas, em um escritório. Estela ganha um salário de
    R$ 1 650 e Sara ganha o salário de Estela mais R$ 600,00. Qual é o salário de Sara?



5. No sábado corri 1 200 metros. No domingo, corri 700 metros a mais que no sábado.
a) Quantos metros corri no domingo?
b) Quantos metros corri neste fim de semana?




6. Fernando tinha R$ 138,00 e gastou R$ 92,00. Ele ainda pretende pagar R$ 38,00 a Cássia.
a) Depois do gasto, com quantos reais Fernando ficou?
a) Para pagar a Cássia, faltou ou sobrou dinheiro? Quanto?




7. Em uma gincana do colégio de Ana, a primeira equipe está com 1 320 pontos, a segunda está com 900 pontos. Sabendo que a soma das três equipes é de
     3 150, qual o total de pontos da terceira equipe?


8. Determine a soma entre 1 999 e o seu sucessor.


9. Thiago está participando de um campeonato de basquete e já disputou três jogos. No primeiro jogo ele marcou 36 pontos, no segundo ele fez 5 pontos a mais que no primeiro e no terceiro ele fez o dobro dos pontos da segunda partida. Quantos pontos Thiago fez nesse campeonato?



10. Larissa recebeu seu salário mensal, que era de R$ 2 000,00. Neste mês ela teve alguns gastos extras e lhe sobraram apenas R$ 238,00 reais no fim do mês. Qual foi, no total, o gasto de Larissa neste mês?


11. Descubra o valor do termo desconhecido.
a) 242 + a = 532
b) 624 – a = 288
c) a + 1 472 = 4 200
d) a – 25 800 = 68 000


 12. Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) e corrija as informações falsas.
a) Numa subtração em que o minuendo é 58 e o resto é 23, o subtraendo é igual a 25. (___)
b) Numa adição em que uma das parcelas é igual a 870 e a soma é igual a
   1 240, a outra parcela é igual a 374. (___)
c) Se em uma subtração o minuendo é igual a 85 e o subtraendo é igual a 32, o resto é igual a 53. (___)
d) Ao subtrair 250 de 1 550, obtenho como resultado 1 300. (___)
e) Numa adição a soma é igual a 7 224, uma das parcelas é igual a 1 254 e a outra parcela é igual a 6 070. (___)


13. Para resolver cada problema arme a expressão numérica de acordo com cada situação abaixo:
a) Uma empresa tem 100 funcionários. O gasto com cada funcionário é de
    R$ 690,00 (referente a salários) e mais R$ 230,00 (de cesta básica). Qual o gasto total que a empresa tem com os funcionários?
b) Ana coleciona selos. Ela tem 5 folhas, com 12 selos cada uma; 4 folhas com 5 adesivos cada e mais 3 adesivos numa outra folha.

14. Resolva a divisão de 912 por 38 e responda:
a) Que nome se dá ao número 912?_________________________
b) Que nome se dá ao numero 38?__________________________
c) Essa divisão é exata? Justifique.___________________________
d) Qual é o quociente dessa divisão?__________________________
e) Qual é o maior resto possível dessa divisão?___________________
f) Qual é o menor resto de uma divisão? ________________________

15. Efetue as divisões e associe a cada uma delas a multiplicação correspondente.
a) 4 284 : 4 =___________________________________________________
b) 936 : 39 =____________________________________________________

16. Efetue as divisões a seguir e verifique se elas são exatas ou não:
a)    150 dividido por 8.



b)    625 dividido por 39.



c)    1 248 dividido por 26.


17. Coloque parênteses na expressão seguinte para que seu resultado seja 6:

60 : 4 + 3 × 2

18. Um número natural é expresso por [100 : (4 × 8 – 27)] : (6 × 7 – 38). Descubra qual é o valor do sucessor desse número.




19. Qual é o número que divido por 22 tem por quociente 17 e o resto é o maior possível.

ATIVIDADES COM NÚMEROS INTEIROS - REVISÃO

1. Associe V (verdadeira) ou F (falsa) a cada uma das afirmações:
a)     Todo número positivo é maior que zero.
b)    Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.
c)     Qualquer número negativo é maior que zero.
d)    Quanto menor for o número negativo, maior será o seu módulo.
e)     O oposto de –a é o número a.

2. Localize na reta numérica os pontos que representam os elementos do conjunto:

{-16, -20, -5, 6, 0, 4, -9, 2, +15, +10}

3. Encontre:

a) a metade de 50.                                               b) a terça parte de 243.
c) a quarta parte de – 1200.                                d) a quinta parte de – 175.



4)  Complete a seguinte tabela, calculando as operações de números inteiros, aplicando as regras de sinais da adição, subtração e multiplicação:

X
Y
x+y
x-y
xy
x+xy
xy-y

+3

+2







-1


+5






+7

-4







-4

-2







-1


0








5. Calcule transformando em adições algébricas:

a) (-3) - (-5) + (-6)

b) (-18) + (+9) - (-17) – (-20)

c) (-20) - (-9) - (+4) + (-1) – (+6)


  6. Escreva em ordem crescente:
a) 4, -1, 5, -3, 0, 1, -2



b) 1, -5, -10, 9, 18, -30, -20, 8



7. Escreva em ordem decrescente:
a) -3, 1, 5, 4, -5, 0, -1, 10



b) -1, -5, -3, -15, 0, -18



8. Utilizando os símbolos > ou < , compare os números:
a) -15              -12                                               b) -8                  0                           
 c) -1000             5                                              d) 300                -500                 
  e) 0                     -500                                    f) 2                     11

9. Resolva as situações-problema:

a)     Em Santa Maria, às 13 horas a temperatura era de 5°C e às 20 horas era -3°C. De quantos graus foi essa diferença? Da tarde para a noite, a temperatura esquentou ou esfriou?

b)    Quantos anos se passaram entre os primeiros Jogos Olímpicos, que ocorreram em 776 a.C., e as Olimpíadas de Atlanta, que aconteceram em 1996?



10. Aplicando as regras de sinais, estudadas em aula, determine o valor de cada expressão:
a)  – (-5) =
b)  – (-3) =
c)   – (+9) =
d)  – (+3) =
e)   – (+4) =
f)    – [- (-15)] =
g)  – [+ (-8)] =

11. Determine qual é o próximo número em cada seqüência:

a) 3, -6, 12, -24, ...                                                       b) -6, +6, -6, +6, ...




c) -6, -12, -18, -24, ...                                                   d) -1, 4, -16, ...

Atividades com equações do 2º grau - revisão

1)Quais das equações abaixo são do 2º grau?
(  ) x – 5x + 6 = 0                               (  ) 2x³ - 8x² - 2 = 0
(  ) x² - 7x + 10 = 0                            (  ) 4x² - 1 = 0
(  ) 0x² + 4x – 3 = 0                            (  ) x² - 7x

2)Classifique as equações do 2º grau em completas ou incompletas e determine os coeficientes a, b, c.
a) x² - 7x + 10 = 0
b) 4x² - 4x +1 = 0
c) –x² - 7x = 0
d) x² - 16 = 0
e) x² + 0x + 0 = 0

3)Resolva as equações do 2º grau:
a)  4x² - 36 = 0
b)  7x² - 21 = 0
c)  x² + 9 = 0
d)  x² - 49 = 0 
e)  5x² - 20 = 0                       

 04. (FUVEST) A soma dos valores de m para os quais x=1 é raiz da equação:
x² + (1 + 5m - 3m²)x + (m² + 1) = 0 ; é igual a

5) Sabe-se que a equação 5x2- 4x + 2m = 0  tem duas raízes reais e diferente. Nessas condições, determine o valor de ‘m’.
6) Determine o valor de ‘p’ na equação x2 – px + 9 = 0  para que essa equação tenha um única raiz real.
7) Determine o valor de ‘m’ na equação 12x2 – mx – 1 = 0 , de modo que a soma das raízes seja 5/6
8) O produto das raízes da equação 8x2 – 9x + c = 0  é igual a a 3/4. Calcular o valor do coeficiente c.
9) Podemos afirmar que 4 é raiz para a equação 8x2 – 9x + 8 = 64?  Justifique a sua resposta, apresentando o cálculo.
10) Em um retângulo, a área pode ser obtida multiplicando-se o comprimento pela largura. Em determinado retângulo que tem 54 cm² de área, o comprimento é expresso por (x – 1) cm, enquanto a largura é expressa por (x – 4) cm. Nessas condições, determine o valor de x.

11) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esses números.
12) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número.

13) O triplo de um número, diferente de zero, é igual ao seu quadrado. Qual é esse número?

14) A equação (x – 2)(x + 2) = 2x – 9:
a) admite duas raízes reais e iguais.
b) admite duas raízes reais e opostas.
c) admite apenas uma raiz.
d) não admite raízes reais.
15) monte uma equação do 2º que tenha como raízes 8 e -1